대각화(Diagonalization)

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대각화(Dianalization)

 

 

다음과 같은 식에서 P는 invertible 하고, D는 대각행렬(diagonal)이다. 

우리가 전 글에서 봤듯이 Similar한 형태의 식과 비슷한데 그 식에서 B가 대각행렬이 되면, A는 대각화 가능하다고 하는것이다.

그럼 당연하게도, 대각화 가능한 A행렬과 대각행렬 D는 SImilar하다.

 

 

그럼 왜 굳이 또 복잡하게 저렇게 대각화 하는것인가??

우리가 LU factorization(행렬분해)에서도 느꼈듯이, 행렬을 저 형태로 분해함에 따라 더 계산을 쉽게 하던가 여러 성질을 관찰할 수 있기 때문이다.

 

예를들어 A의 k승을 계산할때,

다음과 같이 쓴다면 P와 P의 역행렬끼리 상쇄되고 앞뒤의 P와 P^-1, D의 k승만 남게 된다.

 

 

 

 

 

 

n x n 행렬의 A가 대각화가능하면(Diagonalizable) n개의 linearly independent한 eigen vector를 갖는다.

해당식에 양변에 P를 곱하면 아래 식이 된다.

 

 

 

 

우선 P의 각 column들을 v1 ... vn이라 잡으면 AP와 PD는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

AP = PD를 나타내면 어디선가 많이 봤던 모양새이다.

고유값과 고유벡터에서 Ax = λx에서 고유벡터가 x였다.

 

 

 

P 행렬은 Linearly Independent 하므로, 각 v들이 Linearly independent하고, n개의 eigen vector가 있다.

 

 

그리고 n x n 행렬 A가 n개의 dinstinct eigen values를 가질때 결국 n개의 eigenvector을 가지니, diagonalizable 하다고 말 할 수 있다. 필수적으로 n개가 있어야 하는것이 아니라, 충분조건이다.