고유값과 고유벡터 (eigenvalue and eigen vector)

Ax = λx

행렬 A를 총괄적으로 나타낼수 있는 하나의 특수한 값을 고유값(eigen value) 라고 한다.

그리고 고유값에 따른 벡터 x를 고유 벡터(eigen vector) 라고 한다.

• 고유값은 특수한 값인데, 그렇다고 단 하나만 있는것이 아니고 여러개가 있을 수 있다.
• 또 고유벡터는 영벡터를 제외한다.

 

 

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고유값이 0이라는 뜻은,

대각행렬에서 0이 있다는 말이고, 결국 det=0이 나와서 not invertible 하다는 말이다.

결국 아래는 다 동치이다.

eigen value = 0
not invertible
det A = 0

 

 

 

특성방정식(characteristic equation)

우리는 고유값을 구하기 위해 다음과 같은 식을 이용한다. 이를 특성방정식 또는 고유방정식이라 한다.(characteristic equation)

 

 

실제 이 문제를 풀어보자면,

 

characteristic equation을 쓰면 다음과 같은 식이 나온다.

 

깔끔하게 정리하면 다음과 같고, 식을 풀어서 계산하면 λ에 대한 다항식이 나온다.

++여기서 알 수 있는 또하나의 사실은, 삼각행렬에서의 고유값은 대각성분들 그 자체이다.

 

이렇듯,  λ에 대한 다항식으로 표현되는데, 이를 특성방정식이라 말하고,

(algebric) multiplicity 라는 개념도 있는데 이는, 다항식에서 해, 즉 λ값이 얼마나 제곱되어 있냐는 느낌의 개념으로

위 예시에서 λ=5의 항은 제곱되어있으므로 (algebric) multiplicity 는 2이고, 나머지 3과 1은 (algebric) multiplicity가 1이다.

 

 

 

 

Similarity

도형에서도 닮은 도형이면 각 변의 길이비율, 각 등의 성격이 같은것처럼

두 행렬이 Similar하다면, 행렬의 성격이 같다고 보면 된다.

1. Have same characteristic polynomial

2. Have same eigenvalues

3. Same multiplicity

4. Same deteminant

 

 

하지만 eigen value가 같다고해서 -> 꼭 similar하진 않다.

이 두 행렬은 eigen value가 2로 같지만, similar을 증명할 P행렬을 찾을 수 없다.