벡터공간과 부분공간 더 확실히 이해하기(Vector spaces)

https://jubrodev.tistory.com/10

대수구조 이해하기(추상대수학, 벡터공간)

저번시간에 대수구조를 알아보며 벡터공간을 배웠는데,

뒤로 더 갈수록 벡터공간에 대해 확실히 알고가야할거 같아서 다시한번 정리하고자 한다.

 

 

 

 

 

벡터공간 - 벡터를 다를 수 있는 공간. 벡터를 더하거나 실수배 할 수 있는 공간.

저번글 (위 링크) 에 쓴 벡터공간의 조건은 다음과 같다.

 

≪벡터공간의 조건≫

1. (V, +)는 아벨군이다. - ( 즉 교환법칙, 항등원, 역원의 공리가 성립해야함. )

2. (V, +, ·)는 F의 가군이다. - ( +, · 의 두 연산이 있고, 결합법칙과 교환법칙이 성립한다. )

 

 

이걸 자세히 풀어쓰면

i) 덧셈에 대해 닫혀있다. 임의의 벡터 v1과 v2가 벡터공간 V에 있다면,  v1+v2도 벡터공간에 있어야한다.

ii) 덧셈의 교환법칙이 성립해야한다. 

iii) 덧셈의 결합법칙이 성립해야한다.

iv) 덧셈의 항등원이 존재한다.

v) 덧셈의 역원이 존재. 사실 항등원이 존재한다면 자연스래 역원은 따라온다.

 

여기까지가 1번 (V,+)는 아벨군이다 라는 조건을 자세히 풀어쓴건데, 직관적으로 벡터를 상상하며 이해해도 다성립이 하는것이다.

 이렇듯 벡터를 화살표로 생각하면 다 성립함을 알 수 있다.

 

vi) 스칼라배에 대해 닫혀있다.

vii) 스칼라배의 결합법칙이 성립한다.

viii) 스칼라배의 항등원이 존재한다.(1)

ix) 분배법칙이 성립한다.

(k1+k2)(v1+v2) = k1v1+k2v1+k1v2+k2v2

 

 

부분공간(Subspaces)

집합 속 부분집합 같은 느낌이다. 벡터공간 속 일부분을 따오는걸 부분공간이라고 하고, 

부분공간 또한 벡터공간의 공리를 모두 만족시켜야 한다.

다음 그림과 같이 부분공간Wn을 잡았을 때, 

v1 + v2 = v3가 된다면,  v3는 Wn에 속해있지 않아 덧셈에 대해 닫혀있지 않다. 따라서 i)공리를 성립하지 못해 부분공간이 될 수 없다.

 

아래 그림처럼 수정되어야 부분공간이 될것이다.

 

이미 벡터공간안에서 부분공간을 따오는것이기 때문에 교환, 결합법칙 등은 모두 성립할거이다.

결국 위의 두 그림 예제처럼 부분공간이 되려면 덧셈과 스칼라배에 대해 닫혀있기만 한지 확인하면 부분공간이 된다.

 

 

 

 

 

>>벡터공간을 만족하는 9가지 공리만 만족한다면, 꼭 벡터가 아니어도 그 어떠한 집합을 벡터처럼 다룰 수 있다.

REFERENCE

• 수학채널 쑤튜브
• David_Lay - Linear Algebra