대수구조 이해하기(추상대수학, 벡터공간)

선형대수학을 공부하다 대수학(추상대수학)에서 다루는 대수구조도 나오는데, 잘 이해가 가지 않아 정리하면서 공부하겠다.

 

대수학의 대는 큰 대(大)가 아니라 대신할 대(代)의 대수학이기 때문에, 수를 대신한다의 의미이다.

수를 대신한다는 의미는 무엇인가?

바로 수를 대신할 연산이나 일정 규칙의 공리인 것이다.

수학이 단순히 수 뿐만 아니라 수많은 연산규칙으로도 이루어진걸 보면 수를 대신한다는 의미를이해할 수 있을 것이다.

 

또한 우리가 초등학생때 미지수를 네모로 잡고, 중학생때는 그걸 x,y로 잡고 등등 하는것도 모두 대수의 의미를 활용하는 행위이다.

 

 

대수구조

선형대수학의 벡터공간도 하나의 대수구조이다.

반군 : 집합과 그 위의 결합법칙을 가지는 하나의 이항연산을 갖춘 대수구조. 여기서 이항연산은 두개의 항 을 연산한다는 뜻이다. 덧셈, 곱셈 등등이 그 대표적 예다.

모노이드 : 항등원을 갖는 반군. 항등원이란, 반군의 그 연산을 했을 때, 자기자신이 그대로 나올 수 있는 걸 의미한다. 곱셈의 연산을 보면 항등원이 1인걸 알수 있다. 어떤수에 1을 곱하면 그 수가 그대로 나오기 때문이다.

군 : 역원을 갖는 모노이드. 여기서 역원이란 항등원을 만들수 있는 것을 말한다. 덧셈에서 항등원은 0인데, 한 항이 5라면, 역원은 -5이어야지 5+(-5) = 0 의 항등원을 만든다.

아벨군(가환군) : 교환법칙이 성립하는 군.

용어를 집합으로 나타내면 대충 다음 그림과 같다. 아벨군은 결국 우리가 손쉽게 하는 사칙연산 풀패키지 같은 느낌이다.

아무래도 글만봐서 잘 이해가 안될텐데 이 영상을 보면 대충 어떤 느낌인지 파악할 수 있을것이다.

 

 

환 : 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조.

(이항연산이 두갠데 하나는 아벨군, 하나는 반군+분배법칙)

 

가군(Module) : 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군 (벡터공간이 여기에 해당)

 

가환환 : 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환.

 

나눗셈환 : 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환.

 

체 : 가환환인 나눗셈환. 즉 사칙연산이 자유로이 시행 될 수 있고 산술의 잘알려진 규칙들을 만족하는 대수구조.

 

 

 

 

 

 

 

벡터공간

체 F에 대한 가군 (V, +, ·)을 벡터공간, V의 원소를 벡터라 한다.

+는 벡터의 덧셈이고 ·는 벡터의 스칼라인데 스칼라에는 실수 허수 등등 다 포함되는거다.(체에서 가져오기 때문에)

 

쉽게말해서 해석하면 벡터를 서로 더하거나 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다.

 

벡터공간의 조건

1. (V, +)는 아벨군이다. - ( 즉 교환법칙, 항등원, 역원의 공리가 성립해야함. )

2. (V, +, ·)는 F의 가군이다. - ( +, · 의 두 연산이 있고, 결합법칙과 교환법칙이 성립한다. )

 

더 자세한건 이 문서를 참고하면 좋을거같다.

 

 

 

 

 

선형결합과 생성(span)

선형결합 : 벡터들을 스칼라배 해서 V를 만드는 스칼라값들이 존재한다.

 

 

 

선형생성(span) : 선형결합으로 만들 수 있는 모든 벡터들의 집합.

이 영상이 잘 설명해준다. 

 

 

선형 독립

집합들의 벡터들이 상호연관성이 있는지 판단하는 것이다.

 

위 식에서 c1 = c2 = c3= ... = cn = 0 의 유일한 해를 가질때 선형독립이라고 한다.

이 유일해 외의 다른 해가 존재하면 선형종속이라고 한다.